Gauß ohne Schrecken: so funktioniert das Rechnen mit der Normalverteilung (Teil 1-3)

In betriebswirtschaftlichen Zusammenhängen muß immer wieder mit der Normalverteilung gerechnet werden, denn normalverteilte Merkmalsausprägungen sind häufig: technische Maße etwa im Qualitätsmanagement, aber auch Nachfragedaten, Wartezeiten von Kunden oder Kosten- und Leistungskennzahlen sind oft normalverteilt. Das Rechnen mit der gauß'schen Verteilungsfunktion birgt für viele Studienteilnehmer aber manchen Schrecken. Das muß nicht sein, wie wir in dieser dreiteiligen Serie zeigen werden.

Um diesen Artikel (und die folgenden beiden) Beiträge nachzuvollziehen, ist diese Tabelle erforderlich. Der Leser sollte sie sich ggfs. ausdrucken. Wird ein elektronischer Gauß-Rechner benutzt, können die Ergebnisse leicht abweichen (präziser). Das ist jedoch nicht weiter schlimm: hier kommt es auf das Verständnis des Prinzipes an. Und in Klausuren muß ohnehin meist mit Tabellen gearbeitet werden.

Die grundlegende Gesetzmäßigkeit

Zunächst ist bedeutsam zu erkennen, daß die sogenannte gauß'sche Glockenkurve eine Dichtefunktion ist. Sie zeigt die Wahrscheinlichkeit (P) des Eintretens eines metrisch skalierten Ereignisses in Abhängigkeit von der Standardabweichung (Sigma) vom Mittelwert an:

Genau am Mittelwert ± 0 Sigma, also am Scheitelpunkt der Kurve, ist das Eintreten zukünftiger Ereignisse am wahrscheinlichsten. Je weiter man sich nach oben (rechts) oder unten (links) vom Mittelwert entfernt, desto unwahrscheinlicher wird das Eintreten neuer Ereignisse.

Beispiel: Täglich werden durchschnittlich 500 Stück eines Produktes nachgefragt (metrisch skaliertes Merkmal: Nachfrage). Der Mittelwert der Merkmalsausprägung ist also 500. Die mittlere Abweichung (Standardabweichung, Sigma) betrage 60 Stück. Es gilt also 500 ± 60 Stück für die Nachfrage. Die Wahrscheinlichkeit, daß am nächsten Tag wiederum genau 500 Stück nachgefragt werden, ist am größten (Scheitelpunkt der Kurve). Die Wahrscheinlichkeit, daß es aber 501, 502, 503 usw. oder ebenso 499, 498, 487 usw. Stück sind, sinkt jeweils (abfallende Seiten der Kurve).

Wie man die gauß'sche Glocke läutet

Das Schöne an der gauß'schen Gesetzmäßigkeit ist, daß sie verallgemeinert werden kann. Sie gilt für eine Vielzahl von möglichen Merkmalen: Wartezeiten in der Kassenschlange, Abmessungen maschinell produzierter Teile, Anzahl nachgefragter Produkte – sie alle kann man mit dem gleichen, auf Carl Friedrich Gauß (1777-1855) zurückgehenden mathematischen Modell berechnen. Genau das zeigt die oben verlinkte Tabelle, die sich der fleißige Leser ja gewiß schon angeschaut hat. Diese zeigt nämlich den Flächenanteil der Grafik zwischen Mittelwert und einem bestimmten Sigma-Wert:

Man schlage in diese Tabelle jetzt den Wert für 1,00 Sigma nach. Der gefundene Wert i.H.v. 34,13447% besagt, daß zwischen dem Mittelwert und Mittelwert + 1,00 Standardabweichungen (Sigmas) genau 34,13447% der Fälle zu erwarten sind.

Beispiel: Ist der Mittelwert der Nachfrage 500 Stück und die mittlere Abweichung (Standardabweichung, Sigma) 60 Stück, so ist die statistisch zu erwartende Wahrscheinlichkeit, am nächsten Tag genau zwischen 500 und 560 Stück zu verkaufen, 34,13447%.

Das sagt uns freilich noch viel mehr: da die Kurve symmetrisch ist, ist die Wahrscheinlichkeit, bis 500 Stück zu liegen, genau 50%. Die Wahrscheinlichkeit, darüber zu liegen, ist ebenfalls genau 50%. Die Wahrscheinlichkeit, im vorstehenden Beispiel mehr als 560 Stück zu verkaufen, muß aber bei 50% – 34,13447% = 15,86553% liegen.

Der Leser ahnt, daß damit eine Menge wunderbarer Dinge möglich sind. Wie man also die gauß'sche Glocke läutet, zeigen wir in den nächsten beiden Folgen dieser kleinen Serie von Beiträgen, die jedoch diesen Artikel voraussetzen werden.

Links zum Thema: Tabelle der gauß'schen Normalverteilung | Gauß-Rechner für Excel | Formelsammlung der Betriebswirtschaft (interne Links)

Hinweise auf relevante Inhalte der BWL CD: [Lexikon]: "Arithmetisches Mittel", "geometrisches Mittel", "Marktforschung", "Mittelwert", "Normalverteilung", "Standardabweichung", "Verteilungsart". [Manuskripte]: "Formelsammlung der BWL.pdf", "Marktforschung.pdf", "Statistik Skript.pdf". [Excel]: "Gauß'sche Normalverteilung.xls", "Varianz.xls".
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